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Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

EJERCICIO 1

Considere la función coseno hiperbólico cosh⁡(x)=ex+e−x2\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} definida sobre todo R\mathbb{R}.

a) Muestre que cosh⁡(x)\cosh (x) verifica las hipótesis del teorema de Rolle en todo intervalo de la forma [−a,a][-a, a] con a>0a>0.
b) Utilice un graficador. Halle a simple vista el valor de cc cuya existencia asegura la tesis del teorema y luego encuentre ese valor analíticamente.
EJERCICIO 8

a) Verificar que lim⁡x→+∞exx3=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}=+\infty Explicar con sus palabras por qué lim⁡x→+∞exxn=+∞\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty para cualquier n∈Nn \in \mathbb{N}. Esto demuestra que la función exponencial tiende al infinito más rápido que cualquier potencia de x\mathrm{x}.
b) Probar que lim⁡x→+∞ln⁡(x)xp=0\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}=0 para cualquier número p>0p>0. Esto demuestra que la función logarítmica tiende a infinito más lentamente que cualquier potencia de x\mathrm{x}.
c) ¿Qué sucede si intenta usted utilizar la regla de L'Hopital para obtener el límite 
lim⁡x→+∞xx2+1? \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ? 
Evaluar el límite utilizando cualquier otro método.
EJERCICIO 9

Calcular los siguientes límites utilizando la regla de L'Hôpital:

a) lim⁡x→11−x+ln⁡(x)1+cos⁡(πx)\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x+\ln (x)}{1+\cos (\pi x)}
b) lim⁡x→0+sen⁡(x)ln⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen}(x) \ln (x)
c) lim⁡x→0cos⁡(mx)−cos⁡(nx)x2\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (m x)-\cos (n x)}{x^{2}}
d) lim⁡x→π2+sec⁡(x)−tg⁡(x)\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \sec (x)-\operatorname{tg}(x)
e) lim⁡x→+∞(1+ax)bx\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}
f) lim⁡x→0+(tg⁡(2x))x\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{tg}(2 x))^{x}
g) lim⁡x→+∞(ex+x)1x\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}
h) lim⁡x→0+(cos⁡(x))1x2\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos (x))^{\frac{1}{x^{2}}}
i) lim⁡x→0+(4x+1)cotg⁡(x)\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(4 x+1)^{\operatorname{cotg}(x)}
EJERCICIO 10.a

Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de las siguientes funciones:

a) f(x)=2x3−3x2−36xf(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-36 x
b) f(x)=x2e−3xf(x)=x^{2} e^{-3 x}
c) f(x)=xx2−4f(x)=\frac{x}{x^{2}-4}
d) f(x)=x2x2−4f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}
e) f(x)=ln⁡(x)x2f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}
EJERCICIO 10.b

¿Cuáles de las siguientes funciones son convexas y cuáles cóncavas? ¿En qué dominio? ¿Para qué valores del parámetro?

a) f(x)=ax,a>0f(x)=a^{x}, a>0
b) f(x)=log⁡a(x),a>0f(x)=\log _{a}(x), a>0
c) f(x)=e−12x2f(x)=e^{-\frac{1}{2} x^{2}}
d) f(x)=xk,k∈Nf(x)=\sqrt[k]{x}, k \in \mathbb{N}
e) f(x)=xln⁡(x)f(x)=x \ln (x)
f) f(x)=xr,r≠0f(x)=x^{r}, r \neq 0

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